第一百一十章 IMO第一场 (2/2)
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点奥数竞赛的样子嘛!”审了一遍题没找到思路,但这下反而让张伟安心了不少。
难——这才是奥数竞赛应该有的样子不是么?
摆正姿势摆正心态,张伟开始对第三题进行深入的审题:
N为正整数集.在N上定义函数?如下:
?(1)=1,?(3)=3,且对n∈N有
?(2n)=?(n),
?(4n+1)=2?(2n+1)-?(n),
?(4n+3)=3?(2n+1)-2?(n).
问:有多少个n∈N,且n≤1998使得?(n)=n?
这题给出的条件还是非常多的,但是数学这东西,有时候已知的条件多,可并不见得是好事。
排除纯粹作为无用干扰项的可能,已知条件越多,通常意味着接下来的运算或者推理过程越复杂。
这一题就是个典型。
张伟没有上来就找公理定律什么的,他觉得这一套在这里行不通。
他通过题目已知的几个函数等式,先列举出了一段结果,即在给出n的数值的情况下,算出对应?(n)的数值:
n1234567891011121314151617
?(n)113153719513311715117
如果换了普通人,看到这张表恐怕会更加懵逼,因为这看起来只是两串杂乱的、毫无规律的数字。
但是这两串数值真的是毫无规律吗?
数学有一种独特的美,这种美叫做“规律”;而数学的美往往隐藏的如此之深,让一般人根本无从发现。
很多人因为发现不了数学之美而厌弃数学,而也有极少数的人长了一双善于发现数学之美的眼睛,他们因此而爱上了数学!
张伟不确定自己有没有爱上数学,但他很确定自己有一双发现数学之美的眼睛:
?2k=1,?2k-1=2k-1,?2k+1=2k+1
没有公式,没有定理,只能用一双眼睛,用数学归纳法来找到这种规律:?(n)的值是将n用二进制形式表示,再将他反向得到的二进制数值(例如11=1011,?(11)=1011=13)。
引入二进制后,使张伟解答这道题找到了可能。
得出?(n)的规律,再在此种规律下考虑?(2n)、?(4n+1)、?(4n+3)的情形。
假设论证的过程是复杂的,但再复杂的推理计算,也必然要遵循数学的规律,掌握了这些规律,在数学的赛场上你就是神!
由?(2n)=?(n)可知?2k=1成立;
假设n=4m+1的形式,设:4m+1=......与猜想吻合。
假设n=4m+3的形式,设:4m+3=......与猜想吻合。
故证明猜想。
在这场数字的游戏中,张伟如神祇一般操控着一切,将纷繁的局面抽丝剥茧,大胆假设、小心求证,最后终于得出结论:
现在我们找出1到1988之间有多少数的二进制是左右对称的,由于1024<1988<2048,所有1位到11位的二进制数中能表示左右对称的数有:1+1+2+2+4+4+8+8+16+16+32=94个,其中1988=(11111000100),超过1988的对称的二进制数有(11111011111),(111111111111)。所以不超过1988,?(n)=n的个数的94-2=92.
得出结论,打完收功,张伟看看时间——十点半不到!
四个半小时的考试时间,才用了刚刚好一半!
点奥数竞赛的样子嘛!”审了一遍题没找到思路,但这下反而让张伟安心了不少。
难——这才是奥数竞赛应该有的样子不是么?
摆正姿势摆正心态,张伟开始对第三题进行深入的审题:
N为正整数集.在N上定义函数?如下:
?(1)=1,?(3)=3,且对n∈N有
?(2n)=?(n),
?(4n+1)=2?(2n+1)-?(n),
?(4n+3)=3?(2n+1)-2?(n).
问:有多少个n∈N,且n≤1998使得?(n)=n?
这题给出的条件还是非常多的,但是数学这东西,有时候已知的条件多,可并不见得是好事。
排除纯粹作为无用干扰项的可能,已知条件越多,通常意味着接下来的运算或者推理过程越复杂。
这一题就是个典型。
张伟没有上来就找公理定律什么的,他觉得这一套在这里行不通。
他通过题目已知的几个函数等式,先列举出了一段结果,即在给出n的数值的情况下,算出对应?(n)的数值:
n1234567891011121314151617
?(n)113153719513311715117
如果换了普通人,看到这张表恐怕会更加懵逼,因为这看起来只是两串杂乱的、毫无规律的数字。
但是这两串数值真的是毫无规律吗?
数学有一种独特的美,这种美叫做“规律”;而数学的美往往隐藏的如此之深,让一般人根本无从发现。
很多人因为发现不了数学之美而厌弃数学,而也有极少数的人长了一双善于发现数学之美的眼睛,他们因此而爱上了数学!
张伟不确定自己有没有爱上数学,但他很确定自己有一双发现数学之美的眼睛:
?2k=1,?2k-1=2k-1,?2k+1=2k+1
没有公式,没有定理,只能用一双眼睛,用数学归纳法来找到这种规律:?(n)的值是将n用二进制形式表示,再将他反向得到的二进制数值(例如11=1011,?(11)=1011=13)。
引入二进制后,使张伟解答这道题找到了可能。
得出?(n)的规律,再在此种规律下考虑?(2n)、?(4n+1)、?(4n+3)的情形。
假设论证的过程是复杂的,但再复杂的推理计算,也必然要遵循数学的规律,掌握了这些规律,在数学的赛场上你就是神!
由?(2n)=?(n)可知?2k=1成立;
假设n=4m+1的形式,设:4m+1=......与猜想吻合。
假设n=4m+3的形式,设:4m+3=......与猜想吻合。
故证明猜想。
在这场数字的游戏中,张伟如神祇一般操控着一切,将纷繁的局面抽丝剥茧,大胆假设、小心求证,最后终于得出结论:
现在我们找出1到1988之间有多少数的二进制是左右对称的,由于1024<1988<2048,所有1位到11位的二进制数中能表示左右对称的数有:1+1+2+2+4+4+8+8+16+16+32=94个,其中1988=(11111000100),超过1988的对称的二进制数有(11111011111),(111111111111)。所以不超过1988,?(n)=n的个数的94-2=92.
得出结论,打完收功,张伟看看时间——十点半不到!
四个半小时的考试时间,才用了刚刚好一半!